Platonikos ERATOSTENES


Mathematik, Musiktheorie und Metaphysik

Bearbeiten

Der Philosoph und Mathematiker Theon von Smyrna zitiert zwei Stellen aus einem Werk des Eratosthenes mit dem Titel Platōnikós, das nicht erhalten ist. Zu welcher Literaturgattung der Platonikos gehörte, ist umstritten. Einige Forscher haben an einen Kommentar zu Platons Dialog Timaios gedacht, doch scheint sich Eratosthenes nicht auf eine Besprechung nur eines einzelnen Werkes Platons beschränkt zu haben. Oft wurde angenommen, es habe sich um einen Dialog gehandelt, in dem Platon als Hauptunterredner auftrat, doch müsste die Schrift dann nach antiker Gepflogenheit Platon und nicht Platonikos heißen. Wahrscheinlich ist Platonikos im Sinne von Platonikos logos (Schrift über Platon) zu verstehen. Es war wohl ein Handbuch, das einem breiteren Publikum den Zugang zu Platons Werken durch Klärung von Begriffen und Erläuterung schwieriger Passagen erleichtern sollte.[16]

Behandelt wurden in erster Linie mathematische Fragen; zu den erörterten Begriffen gehörten Abstand, Verhältnis, kontinuierliche und diskontinuierliche Proportion, mathematisches Mittel, Primzahl und Punkt. Im Mittelpunkt stand die Proportionenlehre, in der Eratosthenes den Schlüssel zur platonischen Philosophie sah. Mathematische Erkenntnis bedeutete für ihn zugleich philosophische. Das Hilfsmittel der Verhältnisgleichung („a verhält sich zu b wie c zu d“), die er „Analogie“ nannte, sollte auch zu außermathematischem Erkenntnisgewinn verhelfen. Er erstrebte generell Problemlösungen durch das Aufsuchen von Analogien im Sinne von Verhältnisgleichungen.[17] In der Proportion meinte er das verbindende Band der "mathematischen" Wissenschaften (Arithmetik, Geometrie, Astronomie, Musiktheorie) gefunden zu haben, da alle Aussagen dieser Wissenschaften letztlich auf Aussagen über Proportionen zurückführbar seien.

So wie die Eins der Ausgangspunkt (archḗ) und das Urelement (stoicheíon) der Zahlen und damit der Quantität ist und wie der Punkt das nicht auflösbare, nicht zurückführbare Element der Länge ist, ist für Eratosthenes die Gleichheit (als Urverhältnis 1 : 1) das Element und der Ursprung aller Verhältnisse und Proportionen. Die Zahlen entstehen durch Addition und die verschiedenen Verhältnisse durch Vergrößerung der Glieder des Ausgangsverhältnisses; die Linie hingegen kann nicht als Zusammenfügung einzelner Punkte hervorgebracht werden, da der einzelne Punkt keine Ausdehnung hat, sondern sie entsteht durch eine kontinuierliche Bewegung eines Punktes. Diese Auffassung wurde später von dem Skeptiker Sextus Empiricus kritisiert.

Für das mit Zirkel und Lineal unlösbare Problem der Würfelverdoppelung, das „Delische Problem“, schlug Eratosthenes eine mathematische Näherungslösung vor. Für die Primzahlforschung verwendete er einen Algorithmus, der es gestattet, aus der Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen, die kleiner als eine vorgegebene Zahl oder ihr gleich sind, alle Primzahlen auszusondern. Diese Methode ist unter dem Namen Sieb des Eratosthenes bekannt. Er hat sie aber nicht – wie man früher glaubte – erfunden; sie war vielmehr bereits bekannt, von ihm stammt nur die Bezeichnung „Sieb“.[18]

Ein Nebenthema des Platonikos war die Musiktheorie, in der Eratosthenes die Proportionenlehre auf die Musik übertrug. Das gelang ihm so überzeugend, dass er in der Antike zu den bedeutendsten Autoritäten auf musikalischem Gebiet gezählt wurde. Der Gelehrte Ptolemaios überliefert die Berechnungen des Eratosthenes für das Tetrachord, die zeigen, dass er sich der „pythagoreischen“ Einstimmung bediente, die er verfeinerte. Eratosthenes kannte und berücksichtigte auch das System des Musiktheoretikers Aristoxenos. Wie er bei seinen Berechnungen vorging, teilt Ptolemaios allerdings nicht mit.

Ferner ging Eratosthenes im Platonikos auch auf Metaphysisches wie die Seelenlehre ein. Dabei vertrat er ebenso wie der Platoniker Krantor, von dem er wohl beeinflusst war, die Auffassung, die Seele könne nicht rein immateriell sein, sondern müsse auch etwas Körperhaftes an sich haben, denn sie halte sich ja in der Welt der sinnlich wahrnehmbaren Dinge auf; außerdem sei sie stets in einem Körper.[19] Dem liegt die Überlegung zugrunde, die Seele könne sinnlich wahrnehmbare Objekte nur erfassen, wenn sie eine entsprechende Disposition in ihrer eigenen Struktur aufweist. Demnach sei sie eine Mischung aus zwei Bestandteilen, einem unkörperlichen und einem körperhaften.[20]

Der spätantike Mathematiker Pappos erwähnt eine mathematische Schrift des Eratosthenes mit dem Titel Über Mittelglieder (Peri mesotḗtōn). Da dieses Werk sonst nirgends in antiken Quellen genannt ist, ist zu vermuten, dass es mit dem Platonikos identisch ist.[21] 1981 wurde eine mittelalterliche arabische Übersetzung eines Textes von „Aristanes“ (Eratosthenes) über mittlere Proportionale veröffentlicht.[22] Dabei handelt es sich aber nicht um das von Pappos erwähnte verlorene Werk Über Mittelglieder, sondern um einen auch im griechischen Originaltext erhaltenen angeblichen Brief des Eratosthenes an König Ptolemaios III. über die Würfelverdoppelung. Die Echtheit des Briefs ist umstritten.[23]

  2017/k

proportion
 

Carl von Linné nach Enzensbergers „Mausoleum“:

„Die Natur ist ein zeitloses Rechteck“

„Der Forscher als Spitzel Gottes“

„Gott ist ein zeitloses Rechteck“

 

dimensator - modulor


Mit der oben genannten handwerklichen Ausbildung hat mich, mit Beginn des Studiums an der TUB LC’s Goldener Schnitt Ausarbeitung besonders fasziniert. Intuitiv haben wir dankbar den Hinweis aufgenommen, dass mit dem vom Menschen her entwickelten Maßstab zukünftige Aufgaben sich besser  bewältigen lassen würden als „aus dem hohlen/vollem Bauch heraus“.

Daß die ganzen Maßangaben der blauen und roten Maßketten LC’s lediglich auf Abrundungssequenzen beruhen hat uns damals nicht gestört, war jetzt aber für die maßgerechte Bauausführung (und den Maschinenschlosser der mit hundertstel Millimeter zu arbeiten gelernt hatte) unbrauchbar.

Mit dem Ein-/ Auszug nach Kreuzberg bekam deshalb die Untersuchung der Quadratverdoppelung  LC`s zunehmend an Bedeutung: Die geometrische Vorgehensweise seiner Mitarbeiter hielt der mathematischen Nachprüfung nicht stand (siehe oben). Dagegen bot die Heranziehung der wahren Größe der Raumdiagonale ( deren Ansicht die Diagonale der Quadrathälfte ist, mit deren Umklappung die Proportion 1: 1,618 normalerweise geometrisch ermittelt wird ) mit rd= 1,5 (einskommafünf) genau das Maß das +  0,5 (nullkommafünf) zwei ergibt ( siehe Skizze ), ganzzahlig!


178 cm, in der Nautik ein Faden,  entsprach exakt meiner wirklichen Grösse. 233 cm, die konnte ich gut ausgreifen,  mich dabei ein wenig „nach der Decke streckend“.

Damit sind die Eckdaten der roten und grünen Maßketten gefunden und bleiben, wie alle daraus Folgenden exakt (....ein paar Jahre hat es gedauert bis ich Fibonacci entdeckte und verstand), so daß sich damit in der Praxis gut arbeiten läßt.

DIMENSATOR

Geben Sie bitte in das GRÜNE Feld Ihr Maß ein,
unser Dimensator berechnet minor und major.

… aus einem Brief an Prof. Stefan Polonyi


Zunächst lassen Sie mich allgemein ein Wort zu Pythagoras, Ihrem Lieblingshelden in der Mathematikgeschichte, sagen: ihm ist unter anderem gelungen, wenn auch mit fraglichem Ausgang, die Bürger von Kroton zum Bau seines Gymnasion zu bewegen, hat also aus der Mathematik soviel Nutzen ziehen können ( und war damit geschickter als Platon in Sizilien) materielle Entscheidungen herbeizuführen. Ob ihm das letztlich „den Kopf gekostet“ hat sei dahingestellt. Inwieweit „Zahlen“ dabei eine Rolle gespielt haben kann man nur vermuten, Proportionen wie 2:1 bestimmt und natürlich 5040 die noch in Platons Gesetzen als max Bewohnerzahl von zu gründenden  Kolonien genannt wird. Wie sehr aber der Stiefelabsatz damals in jeder Hinsicht „führend“ war habe ich versucht mit Archytas von Talent, Apulien, nachzuweisen. Er hat  das Problem der „Würfelverdoppelung“ geometrisch gelöst das vom Orakel in Delos aufgeworfen worden war.

„Verdoppelung“ soll das Stichwort sein, das mich sowohl literarisch (Sophocles soll der erste gewesen sein, der  vom Monolog mit dem Dialog auf der Bühne, durch Einführung des zweiten Schauspielers,  das Szenario erweiterte, verdoppelte) als auch geometrisch (LCs modulor, 182 gross, kann 226 ausgreifen) nicht mehr los liess. Auf Kapretz.de, ratio, ist zu finden wie es mir gelungen ist über den Würfel die Quadratverdoppelung zu konstruieren die mir in der Literatur so noch nicht begegnet ist ( unter Verwendung des Satz des Pythagoras), Voraussetzung für den Kanon der menschlichen Proportion des Goldenen Schnittes , 178cm gross, der 233cm ausgreifen kann (sich ein wenig nach der Decke streckend); LC  geringfügig korrigierend, der vermutlich seiner Zeit auf den Rechenschieber angewiesen war. Daß dadurch „GANZE ZAHLEN“ als Masse menschlicher Proportion ( 178 cm gross, kann 233 ausgreifen ) zur Anwendung kommen ist Anliegen dieser Arbeit.

Es sind die Fibonacci Zahlen, mit denen  sich LC´s Rundungssentenzen, die Inkommensurabilität von PHI nachahmend vermeiden lassen. Sie sind absolut und so beim Entwurf exakt handzuhaben. Darüberhinaus habe ich für „Ungläubige“ den Proportionen Rechner auf Kapretz.de, installiert mit dem sich der Minor und der Mayor für jedes vorgegebene Maß errechnen lassen womit sie allerdings die Succession der „Proportio divina“ verlassen.

In der Literatur habe ich unter anderem bei J.L.Borges, in „Tlön, Uqbar, Orbis Tertius“,  folgenden Satz gefunden: „Es wird behauptet (auf diesem „erfundenen“ Planeten) daß Zählen die Mengen verändert und sie aus unbestimmten in bestimmte verwandelt“ und an anderer Stelle, ohne „ratio“ ist das Universum der Zahlen wie ein „Labyrinth ohne Mitte“.

Ich glaube darin die Lösung für das Entstehen von Proportion gefunden zu haben, aus unbestimmten bestimmte Mengen/Proportionen zu machen, induktiv vom „Machen/Messen“ ausgehend, das dem Ingenieur ja meist durch den Architekten/Handwerker vorgegeben wird. „Bauhütten“ sollen sich da einig gewesen sein.

…der Monoblock aus 2005, 26 x 34 x 55 cm.

DIMENSATOR MASSPROPORTIONEN AUF FIBONACCI BASIS